เรียนพิเศษ ติวสอบ ออนไลน์ กวดวิชาติวเตอร์อันดับ 1 | Megastudy

megastudy

หาวิชาที่ต้องการค่ะ
คณิต เจต
ห่วงใยใกล้ชิด
คณิตกับครูเจต

คณิต เจต

Tutor‘s tip

ลำดับและอนุกรม...... แตกต่างกันอย่างไร
  • ครูเจต
  • 19.12.2565
  • 317

 

ลำดับและอนุกรม...... แตกต่างกันอย่างไร

           ​ลำดับและอนุกรม เป็นอีกบทเรียนที่ใครหลายคนมักพลาดเสียคะแนนไปฟรี ๆ เพราะสับสนสูตรในการคำนวณ
เนื่องจากทั้งลำดับและอนุกรมมีทั้งเลขคณิตและเรขาคณิต วันนี้เราจะมาทบทวนกันว่าต่างกันอย่างไร

ลำดับ หมายถึง ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกที่เรียงจากน้อยไปมากโดยเริ่มตั้งแต่ 1 ซึ่งลำดับนั้น 
เป็นจำนวนหรือพจน์ที่เขียนเรียงกันภายใต้กฏเกณฑ์อย่างใดอย่างหนึ่งเป็นลำดับทั่ว ๆ ไป โดยแบ่งออกเป็น 2 ชนิด ได้แก่
  • ลำดับจำกัด คือ ลำดับซึ่งมีจำนวนพจน์จำกัด โดยฟังก์ชันจะเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น { 1, 2, 3, …, n }
  • ลำดับอนันต์ คือ ลำดับซึ่งมีจำนวนพจน์ไม่จำกัด โดยฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น { 1, 2, 3, … }

ลำดับ คือ กลุ่มของตัวเลขที่มีความสัมพันธ์กัน ซึ่งแบ่งออกเป็น 2 รูปแบบใหญ่ ๆ คือ

  • ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับที่มีผลต่างของพจน์ที่ n+1 กับพจน์ที่ n โดยมีค่าคงที่เป็นผลต่างร่วม (d)
    ตัวอย่าง
    1, 3, 5, 7, 9 …. มี d = 2
    9, 6, 3, 0, …. มี d = -3
  • ลำดับเรขาคณิต คือ ลำดับที่มีอัตราส่วนของพจน์ที่ n+1 กับพจน์ที่ n โดยมีค่าคงที่เป็นอัตราส่วนร่วม (r)
    ตัวอย่าง
    3, 6, 12, 24 …. มี r = 2
    2, -4, 8, -16 … มี r = -2

อนุกรม คือ ผลจากการบวกสมาชิกทุกตัวของลำดับไม่จำกัดเข้าด้วยกัน โดยที่

  • ถ้า  a1,   a2,   a3,   …,   an   เป็น ลำดับจำกัด ที่มี n พจน์ เราจะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป                       a1  +  a2  +  a3 +  …  +  an  ว่า  อนุกรมจำกัด 
  • และ ถ้า a1, a2, a3, …, an, … เป็น ลำดับอนันต์ จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกในรูป a1 + a2 + a3 + … + an + … ว่า อนุกรมอนันต์

จากอนุกรม a1 + a2 + a3 + … + an + … โดยทั่วไปจะเรียก

  • a1 ว่าพจน์ที่ 1 ของอนุกรม
  • a2 ว่าพจน์ที่ 2 ของอนุกรม
  • a3 ว่าพจน์ที่ 3 ของอนุกรม
  • an ว่าพจน์ที่ n ของอนุกรม

 

อนุกรมเลขคณิต คือ ผลบวกของลําดับเลขคณิต อธิบายได้ว่า

เมื่อ a1, a1 + d, a1 + 2d, …, a1 + (n – 1)d เป็นลำดับเลขคณิต

จะได้ a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + … + (a1 + (n – 1)d) เป็นอนุกรมเลขคณิต

ซึ่งมี a 1 เป็นพจน์แรกของอนุกรม และ d เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิต ซึ่งจากบทนิยามจะได้ว่า

ถ้า a1, a2, a3, …, an เป็น ลำดับเลขคณิต ที่มี n พจน์ เราจะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับ a1 + a2 + a3 + … + an 

ว่า อนุกรมเลขคณิต และผลต่างร่วม ( d ) ของลำดับเลขคณิต เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิตด้วย

 

อนุกรมเรขาคณิต คือ ผลบวกของลําดับเรขาคณิต โดยอนุกรมที่ได้จากลำดับเรขาคณิตจะเรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต 

และอัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิตจะเป็นอัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิตด้วย

กำหนด a1, a1r, a1r2, …, a1r n-1 เป็นลำดับเรขาคณิต

จะได้ a1 + a1r + a1r2 + … + a1r n-1 เป็นอนุกรมเรขาคณิต

ซึ่งมี a1 เป็นพจน์แรก และ r เป็นอัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิต โดยจากบทนิยามจะได้ว่า

ถ้า a1, a2, a3, …, an เป็นลำดับเรขาคณิตที่มี n พจน์ จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป a1 + a2 + a3 + … + an 
ว่า อนุกรมเรขาคณิต และอัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิต จะเป็นอัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิตด้วย